By Lipschitz S.

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Tm ) = f (exp(t1 ξ1 )) · . . · f (exp(tm ξm )) lokal bei 0 glatt, also auch f lokal bei e. Wegen f = Lf (g) ◦ f ◦ Lg−1 ist f u ¨berall glatt. 12 Folgerung. Sind zwei Lie-Gruppen als topologische Gruppen isomorph, so sind sie sogar als Lie-Gruppen isomorph. h. die C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur einer Lie-Gruppe ist durch die Topologie bereits eindeutig festgelegt. 4. 1 Definition (Unter-Lie-Gruppe) Sei G eine Lie-Gruppe. Eine Teilmenge H heißt Unter-Lie-Gruppe von G falls H Untergruppe von G ist, H eine Lie-Gruppe ist und die Inklusion von H in G glatt ist.

26 Einige transitive Wirkungen Die Gruppen G der Form Ob (E), Ub (E) und Qb (E) wirken per Definition auf E (durch T → (x → T (x))) bzw. h. T → ((x, y) → (T x, T y))) und lassen die Niveau-Fl¨achen Ec := {x ∈ E : b(x, x) = c} (bzw. (E × E)c := {(x, y) : b(x, y) = c}) f¨ ur jedes c ∈ K invariant. F¨ ur festes x ∈ Ec bzw. (x, y) ∈ (E × E)c sei ρ : L(E) ⊇ G → Ec bzw. ρ : L(E) ⊇ G → (E × E)c die durch T → T (x) bzw. T → (T (x), T (y)) gegebenen linearen Abbildungen. Wir werden zeigen, daß f¨ ur alle diese Gruppen (bei geeigneter Wahl von c) zumindest eine dieser beiden Abbildung ρ surjektiv ist, also G auf der Niveaufl¨ache M = G · x transitiv wirkt.

T = a c b d ∈ slC (2) ⇔ d = −a. 24 bei der SL(2) gesehen haben ist √ √ sinh( − det T ) √ exp(T ) = cosh( − det T ) + T − det T √ √ sin( det T ) = cos( det T ) + √ T. B. f¨ ur die Untergruppe SL(2) ⊆ SLC (2) der Fall ist), dann gilt: Ist det T = 0, so ist t → exp(tT ) = 1 + tT eine Gerade. 1 Ist ∆2 := det T > 0, so parametrisiert t → exp(tT ) = cos(t∆) + sin(t∆) ∆ T 1 eine Ellipse mit Achsen id und ∆ T . Insbesonders ist also exp nicht injektiv. 1 Ist −∆2 := det T < 0, so parametrisiert t → exp(tT ) = cosh(t∆)+sinh(t∆) ∆ T 1 eine Hyperbel mit Achsen id und ∆ T .

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